Содержание

• направления
• чаевые
• предупреждение

Определение эпсилон-дельта является демонстрацией того, что студенты учатся на первом курсе классов по исчислению. Это определение является классическим способом показать, что функция приближается к определенному порогу, когда независимая переменная приближается к заданному значению. Эпсилон и дельта являются, соответственно, четвертой и пятой буквой греческого алфавита. Эти буквы традиционно используются в процессе расчета границ, а также используются в демонстрационных процессах.

направления

Определение эпсилон-дельта используется для решения граничных вопросов. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Нужно начать с работы с формальным определением предела. Это определение гласит, что «предел f (x) равен L, так как x приближается к k, если для каждого эпсилона больше нуля существует соответствующая дельта, больше нуля, такая, что когда значение абсолютная разница между x и k меньше дельты, абсолютная величина разности между f (x) и L будет меньше эпсилона ».Неформально это означает, что пределом f (x) является L, когда x приближается к k, если возможно сделать f (x) настолько близким к L, насколько это необходимо, приближая x к k. Чтобы выполнить демонстрацию эпсилон-дельта, необходимо показать, что можно определить дельту в терминах эпсилона для данной функции и границы.

2. Манипулируйте утверждением «| f (x) - L | меньше эпсилона», пока не получите | x - k | меньше, чем какое-то значение. Считайте эту «некоторую ценность» дельтой. Вспомните формальное определение и центральную идею, которая гласит, что необходимо показать, что для любого эпсилона существует дельта, устанавливая между ними отношение, которое делает определение истинным. По этой причине необходимо определить дельту в терминах эпсилон.

   
   

3. Обратите внимание на следующие несколько примеров, чтобы понять, как происходит определение. Например, чтобы доказать, что предел 3x-1 равен 2, когда x приближается к 1, рассмотрим k = 1, L = 2 и f (x) = 3x-1. Чтобы быть уверенным, что | f (x) - L | меньше эпсилона, делай | (3х - 1) - 2 | ниже, чем эпсилон. Это означает, что | 3x - 3 | меньше эпсилона, поэтому 3 | x - 1 | также, или || x - 1 | меньше, чем эпсилон / 3. Таким образом, учитывая, что дельта = эпсилон / 3, | f (x) - L | будет меньше эпсилона всякий раз, когда | x - k | меньше дельты.

чаевые

• Центральная часть доказательства состоит в том, чтобы преобразовать f (x) - L в x - k. Если вы помните об этой цели, остальная часть демонстрации пройдет идеально.

предупреждение

• В некоторых ситуациях предел функции может указывать на то, что f (x) стремится к бесконечности всякий раз, когда x стремится к бесконечности. Определение эпсилон-дельта в этих случаях не работает; в этих ситуациях аналогичная демонстрация может быть сделана путем выбора двух больших чисел, M и N, и показа, что f (x) может превышать M, заставляя x превышать N, а M может быть настолько большим, насколько это необходимо.